平方剰余について

私の論文は整数論に属する．整数全体は無限（個）の世界を構成するが、これらを特定の数（ここでは与えられた奇素数ｐ）で割り、その剰余がｐを法として合同なものを一つのクラス（剰余類）にまとめると、全体でｐ個のクラス、即ち有限（個）の世界となる．このクラス同士では和差積の演算ができ、各クラスの代表剰余の（pを法とする）演算で代行できる．つまり、結果が有限世界の外に出ることは無い．

以上の話は整数から出発した．これを分母がｐで割り切れない分数（ｐ整な有理数と呼ぶ．整数も含む）にまで広げ、ここから出発しても同じ話ができる．この場合、分数N/Dの剰余はDの逆数に相当する剰余があることを利用して決める．

次に、平方剰余の話に移る．ｐ整な有理数をｐを法とする剰余として考えている．ただし０を除く．一つはこの剰余aに関しを満足する剰余ｂが存在する場合で、これを平方剰余と呼ぶ．他の一つは存在しない場合で、これを平方非剰余と呼ぶ．（ちょうど、実数における正数、負数の区別の小型版と思えばよいが、大小関係は無い）．剰余は0を除いて､すべてという関係を満足する．(フェルマーの小定理)．細かく言えば､aが平方剰余のとき､を満足し､aが平方非剰余のとき、を満足する．これをオイラーの規準という．

先に述べた３演算のうち、平方剰余に関しては積が大切である．そして剰余a, bの積がクラスa, bの積に遺伝したように、両者の平方剰余性の積は両者の積の平方剰余性に遺伝する．平方剰余を＋、非剰余を−と考えると判りやすい．したがって、3剰余x, y, zから作られる｛xy, yz, zx｝の3要素は全部平方剰余となるか、または1つが平方剰余で2つが平方非剰余となるかのどちらかである．ここでは，剰余が０でない（x, y, z の分子もｐで割りきれない）ことを前提にしているので，｛y/x, x/y, z/x, z/y, x/z, y/z｝の6要素は全部平方剰余となるか、または２つが平方剰余で４つが平方非剰余となるかのどちらかである．

 

「付記」            ここで述べたのは、単独の奇素数ｐについての話であって、私の論文で用いた方法では、第一の場合は平方剰余を含めて成り立つ．第二の場合に平方剰余に関する話は出てこないが、それ以前の話は通用して、単独の奇素数ｐのべき乗を法とする合同式に話を拡張するだけでよい．しかし、「まえがき」でちょっと触れた平方剰余の相互法則はこれよりもっと高度の概念である．すなわち、二つの素数　p、ｑについての話であって、ｐがｑを法として平方剰余（または非剰余）であることは、ｑがｐを法として平方剰余（または非剰余）であることと密接な関係があるというのである．

              　才能と努力によって、相互法則に辿りついた（その歩き方は「ガウス整数論」に詳しい）彼は、単なる「フェルマーの大定理」の証明より高い境地を目指していたのではないかと私は思う．眼高手低というか、われわれはガウスの研究態度を見習うべきだと思う．
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